DISEÑO DE CARRETERAS

En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal.

En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transición, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer un especial énfasis en las curvas de transición, es decir, con curvatura variable.

FUNCIÓN:

El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda la carretera.

FORMA Y CARACTERISTICAS:

En la mayoría de los casos, la curva más aceptada para el diseño de carreteras es la clotoide. Esta curva se representa por la ecuación:

Donde:

R es el radio de la curvatura en cualquier punto.
L es la longitud de la curva desde su punto de inflexión y el punto de radio R.
A es el parámetro de la clotoide, este es característico de la clotoide.

El punto de inflexión de la curvatura se halla en el momento en que el radio es infinito.

Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son:

Ro es el radio de la curva circular contigua a la clotoide.
Lo es la longitud total de la curva de transición.
ΔRo es el retranqueo de la curva circular.
Xo, Yo son las coordenadas del punto de unión de la clotoide y de la curva circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexión.
Xm, Ym son las coordenadas de la curva circular (retranqueada) respecto a los mismos ejes.
αL es el ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con la tangente en un punto de la clotoide. En radianes, este ángulo es = L/2*R. En grados, este ángulo es = 31.83*L/R. αLo es el ángulo de desviación en el punto de tangencia con la curva circular.
Ω es el ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión.
V es el vértice o punto de intersección de las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión.
T es la tangente o distancia entre el vértice y el punto de inflexión de la clotoide.
B es la bisectriz o distancia entre el vértice y la curva circular.

LONGITUD MINÍMA:

La curva de transición debe cumplir con una longitud mínima para cumplir con varios requerimientos, entre estos están:

LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIÓN CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL

La variación aceptada de la aceleración centrípeta y que no es contrarrestada por el peralte de la carretera, debe tener un valor máximo, denominado J.

Para efectos de cálculo, suponiendo que la clotoide sea recorrida a una velocidad constante igual a la velocidad especifica de la curva circular asociada de radio menor, el parámetro A se puede definir como:

Donde:

Ve es la velocidad específica de la curva circular asociada y de radio menor.
J es la variación de la aceleración centrifuga.
R1 es el radio de la curva circular asociada de radio mayor.
R0 es el radio de la curva circular asociada de radio menor.
P1 es el peralte de la curva circular asociada de radio mayor.
P0 es el peralte de la curva circular asociada de radio menor.

Teniendo en cuenta esto, la longitud mínima de la curva debe ser:

Los valores de J aceptados para todo trazado están dados por la siguiente tabla:

LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE TRANSVERSAL:

La variación de la pendiente transversal no puede ser mayor al 4%/s, según la velocidad especifica de la curva de radio menor.

CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:

Con el fin de que una curva sea lo suficientemente perceptible por el conductor, es necesario que:
- La variación de azimut entre los extremos de la clotoide, sea mínimo 1/18 radianes.
- El retranqueo de la curva circular debe ser como mínimo 50 centímetros.
En términos de cálculo, las condiciones que se deben cumplir son:

O

Donde:

Lmin es la longitud en metros.
R0 es el radio de la curva circular en metros.

Además, es muy recomendable que la variación del azimut entre los extremos de la clotoide, se como mínimo, la quinta parte del ángulo total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide.
Ósea:

Donde:

Lmin es la longitud en metros.
R0 es el radio de la curva circular en metros.
Ω es el ángulo de giro entre alineaciones rectas.

VALORES MAXIMOS:
Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan considerablemente, de hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5.

En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real.

Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores máximos planteados por la reglamentación.

Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.

Construcción de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.

ANDENES INCAS

Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio geométrico que debió tener lugar durante su diseño y construcción.

La civilización inca es conocida por muchas características que la han hecho cada vez más famosa, pero quizá uno de sus principales logros fue la erradicación del hambre por medio de innumerables técnicas e investigaciones en el área de la biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas de las que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que sirvieran como apoyo a sus cultivos agrícolas.

Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar varios muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con piedras o arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de tierra lo suficientemente fértil.

Además de la construcción y adecuación del territorio sobre el cual se iba a cultivar, también era necesaria la construcción y el diseño de un gran sistema de irrigación para hacer de la zona un terreno lo suficientemente fértil y más aun teniendo en cuenta que estos cultivos debían sostener a una cantidad inmensa de pobladores de las ciudades.

Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y el terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para mantener la fertilidad de sus terrenos.

Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma cónica donde la base se encuentra definida por la ecuación:

El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetría se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuación que describe la superficie de la colina podría ser:

Superficie original dibujada con el programa MapleV.

Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:

Donde:

z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas.
K es un número real.

Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original, se puede encontrar un grafico mas aproximado de la situación real.

Superficie con las curvas de contorno proyectadas.

Por otro lado, también es posible dibujar el mapa de las curvas de contorno.

Diagrama o mapa de las curvas de contorno.

Finalmente, y después de todo el análisis, es posible recrear un esbozo aproximado de cómo se verían los andenes sobre la superficie original.

Esbozo de los andenes sobre la superficie real.

Para la proyección de los andenes sobre el piso se identifico en primer lugar el máximo número entero menor que z, obteniendo así la altura de cada escalón. Es importante tener en cuenta que los incas no poseían tecnologías tan avanzadas como los programas computarizados para realizar sus cálculos y diseños, además el ejemplo presentado es una situación demasiado idealizada, la mayoría de las veces sucede que los andenes debían ser proyectados sobre montañas que no obedecían a ecuaciones conocidas, entonces todo el proceso analítico debía ser reemplazado.

Cuando sucedía esto, probablemente lo que se hacia era utilizar los recursos topográficos que poseían para realizar un esbozo de las curvas de contorno y posteriormente proyectar los andenes sobre las mismas. Aun en la actualidad, un proceso de estos requiere un muy arduo trabajo de campo para un equipo topográfico.

Aun así, las situaciones ideales sirven mucho para estudiar determinados factores que podrían, por ejemplo, aumentar la productividad de determinadas superficies. En este caso, el problema deja de ser puramente matemático y pasa a ser un problema interdisciplinario, donde intervienen ramas del conocimiento como la ingeniería civil, el análisis de suelos, la biotecnología agrícola, etc.

Pero podría ser un proyecto útil e interesante para la recreación de la agricultura inca.

APLICACIONES

Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en Latinoamérica, en especial en la parte geométrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimización del área agrícola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas de contorno y de maximización del área.

También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creacion de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la humanidad.

A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creacion de los andenes incas o las pirámides mayas.

En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a él.

Como ejemplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las zonas rurales deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por ejemplo, aprender a medir la tierra o aproximar el volumen de troncos cortados.Estos ejemplos no deben ser exclusivos de localidades como estas sino que deben hacer parte de un núcleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseñanza de las matemáticas en cualquier lugar del mundo.

Las matemáticas que son impartidas en Latinoamérica están muy influenciadas por bibliografías extranjeras, alejando de esta manera al estudiante de la realidad que debería interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el estudiante pueda sentirse cada vez más motivado hacia el estudio de las matemáticas y que así pueda desempeñarse mucho mejor en las asignaturas correspondientes.

Es muy común encontrar en varios textos de enseñanza de las matemáticas, que los enunciados de la mayoría de los ejercicios, hacen referencia a una realidad a veces muy lejana como naves espaciales o maximización de lucros en grandes empresas. Obviamente, los textos no se deben hacer a un lado e ignorar la revolución científico-tecnológica que ha tenido lugar en la raza humana, pero los temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su propia realidad, y deben tratar temas desde los más simples hasta los más complejos.

El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad. Dentro de los numerosos ejemplos del uso del cálculo vectorial en Latinoamérica, podemos destacar los andenes incas, que fueron una serie de terrazas que sirvieron para mejorar considerablemente la agricultura de la cultura inca en épocas prehispánicas.

La catedral de Maringa en Brasil y su forma cónica son otro gran ejemplo del uso del cálculo y de la geometría en la realidad latinoamericana. También podemos encontrar aplicaciones al cálculo vectorial en las montañas, cumbres, lagos y en general en toda la parte de la orografía que sirvió de mucha ayuda a todas las civilizaciones para tomar decisiones críticas a la hora de construir sus creaciones.
La aproximación de los espejos de una bahía nos ofrece otra gran muestra de aplicaciones del cálculo vectorial.